Задача Колоду карт 36 шт разделяют на 2 части. Найти вероятность того, что в обеих частях окажется по одинаковому числу тузов



Скачать 320,66 Kb.
Дата26.08.2015
Размер320,66 Kb.
КТР по ТВ и МС

Задача 1.



  1. Колоду карт 36 шт. разделяют на 2 части. Найти вероятность того, что в обеих частях окажется по одинаковому числу тузов.

  2. Слово « карета», составленное из букв- кубиков, рассыпано на отдельные буквы, кот. Затем сложены в коробке. Из коробки наугад извлекаются буквы одна за другой. Какова вероятность получить при таком извлечении слово « ракета»?

  3. Колода карт 52 шт. тщательно стасована. Найти вероятность того, что среди извлеченных 5 карт будет одна десятка.

  4. Пустые горшки Вини-Пух ставит на полочку вместе с наполненными с медом для того, чтобы вид уменьшающегося числа горшков не слишком портил ему настроение. В настоящий момент в его буфете вперемежку стоят 5 горшков с медом и 6 абсолютно пустых. Какова вероятность того, что в двух взятых на ужин горшочках окажется мед?

  5. На отдельных карточках написаны цифры 1, 2,3,4,5,6,7,8,9. Все девять карточек тщательно перемешаны, после чего наугад беруи четыре из них и раскладывают в ряд друг за другом в порядке появления. Какова вероятность получения числа 1234?

  6. Для поражения цели достаточно попадания хотя бы одного снаряда. Произведено два залпа из двух орудий. Найти вероятность поражения цели, если вероятность попадания в цель при одном выстреле из 1-го орудия равна 0,3 , а из 2-го -- 0,4.

  7. Два орудия стреляют по цели. Вероятность попадания в цель при стрельбе 1-ым орудием - 0,8 , 2-ым - 0,6.Наути вероятность попадания при одном залпе обоих орудий хотя бы одним из орудий.

  8. Баночки маргарина и майонеза имеют одинаковый вес и внешний вид. Для приготовления некоторого блюда требуются 2 банки майонеза и 1 маргарина. Из ящика, в кот. 9 банок маргарина и 6 майонеза, наудачу извлекли 3 банки. Какова вероятность того, что из них можно приготовить данное блюдо?

  9. Три стрелка производят по одному выстрелу по общей мишени. Вероятность попадания в мишень для 1-го стрелка равна 0,4, для 2-го – 0,5, для 3-го – 0,7.Найти вероятность того, что в мишень будет ровно два попадания.

  10. В коллекции нумизмата имеются 5 монет по 20 коп., 6 монет по 15 коп. и 7 монет по 5 коп. Наугад берутся три монеты. Какова вероятность того, что в сумме они составят не более 50 коп?

  11. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из 5 выданных. Построить полигон распределения. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение и моду данной случайной величины.

  12. при изготовлении таблеток их масса распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 0,5 г. И средним квадратическим отклонением 0,01 г. Найти: а) интервал, симметричный относительно матем. Ожидания , вероятность попадания в кот. Равна 0,93. б) вероятность того, что масса данной таблетки окажется в интервале ( 0,495 , 0,505 )

  13. Среди четырех неразличимых по внешнему виду урн три урны имеют одинаковый состав шаров – 2 белых и 1 черный, а в четвертой урне – один белый и один черный шар. Из случайно выбранной урны наудачу вынимается шар. Найти вероятность того, что это шар – белый

  14. В белом ящике лежат 12 красных и 6 синих одинаковых на ощупь шаров. В желтом ящике лежат 15 красных и 10 синих одинаковых на ощупь шаров. Бросается игральная кость. Если число выпавших очков кратно трем, то на удачу вынимают шар из белого ящика. Если число выпавших очков не кратно трем, то вынимают на удачу шар из желтого ящика. Какова вероятность того, что вынутый шар красный?

  15. Три стрелка одновременно выстрелили, и в мишени обнаружены две пули. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, для второго – 0,5, а для третьего 0,4.

  16. Случайная величина имеет плотность вероятностей на отрезке и вне этого отрезка. Определить , функцию распределения и .

  17. Случайная величина имеет плотность вероятностей, равную 1/6, на отрезке и 0 – вне этого отрезка. Случайная величина имеет плотность вероятностей, равную 1/4, на отрезке и 0 – вне этого отрезка. Вычислите вероятность того, что случайная точка попадет:

а) в прямоугольник ;

б) в фигуру ;

в) в круг радиуса 2 с центром в точке (0; 2);

г) в фигуру



  1. При взвешивании получается ошибка, подчиненная нормальному закону с г. Найдите вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей 10 г, не превосходящей 40 г, не превосходящей 30 г.

  2. Автомат изготовляет подшипники, которые считаются годными, если отклонение от проектного размера по модулю не превосходит 0,77 мм. Каково наиболее вероятное число годных подшипников из ста, если распределено нормально с мм?

  3. При измерении детали получаются случайные ошибки, подчиненные нормальному закону с мм. Найдите вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей 15 мм, не превосходящей
    20 мм.

На рис. приведен график плотности вероятностей случайной величины . Найдите: 1) и формулу для ; 2) функцию распределения; 3)

0

1








22. Есть пять урн. В первых трех находятся по два белых и три чёрных шара, в двух других — по три белых и два чёрных шара. Случайно выбирается урна и из неё вынимается шар. Найдите вероятность того, что он окажется белым.

23. Пьяница стоит на расстоянии одного шага от лужи. Он шагает случайным образом либо к луже, либо от неё. На каждом шагу вероятность отойти от лужи равна , а шаг к ней имеет вероятность . Какова вероятность, что пьяница избежит попадания в лужу?



Задача 2.

  1. Из колоды (36 карт) вынимаются последовательно без возвращения две карты. Найти вероятность того, что первой картой была шестерка, а второй семерка. Найти условную вероятность того же события при условии, что обе карты бубновой масти.

  2. Вероятность отказа датчика в течении месяца равна 0,1. раз в месяц осматривают 1000 датчиков. Сколько нужно иметь запасных датчиков, что бы с вероятностью не меньшей 0,99 можно было заменить отказавшие?

  3. Кабельная телевизионная компания Новая Вершина Телевидения (НВТ) города Захапинска, решая вопрос о целесообразности покупки прав телетрансляции по кабельному телевидению чемпионата города по мини-футболу, провела опрос среди болельщиков и выяснила, что каждые 20 из 100 болельщиков, не имеющих кабельного телевидения, поделают по этой причине стать абонентом НВТ. Считая, что в городе Захапинске имеется 10000 болельщиков, не охваченных НВТ, а чистая прибыль НВТ от подключения абонентов равна 50$, выяснить:

    1. Какова вероятность того, что чистая прибыль компании от привлечения новых абонентов превысит 105000$?

    2. Какова вероятность того, что чистая прибыль компании от привлечения новых абонентов будет менее 95000$?

    3. При условии, что стоимость прав на телетрансляцию чемпионата равна 80000$, указать диапазон, симметричный относительно 20000$, в котором с вероятностью 0,9 будет находиться чистая прибыль компании за вычетом расходов на приобретение прав на телетрансляцию.

  4. Среди четырех неразличимых по внешнему виду урн три урны имеют одинаковый состав шаров – 2 белых и 1 черный, а в четвертой урне – один белый и один черный шар. Из случайно выбранной урны наудачу вынимается шар. Найти вероятность того, что это шар – белый.

  5. В продажу поступила партия запасных деталей, произведенных на двух станках. Известно, что 70% продукции произведено на первом станке. Среди деталей, произведенных первым станком, 4% бракованных, среди деталей, произведенных вторым станком, – 1% бракованных. Найти вероятность того, что купленная покупателем деталь оказалась бракованной.

  6. . Из колоды (36 карт) вынимаются последовательно без возвращения две карты. Найти вероятность того, что первой картой была шестерка, а второй семерка. Найти условную вероятность того же события при условии, что обе карты бубновой масти

  7. Известно, что случайные величины X и Y независимы, причем , . Найти: 1) , 2) , 3) , 4) .

  8. Из урны, содержащей 4 белых и6 красных шаров по схеме случайного выбора без возвращения извлекается 3 шара. Найти дисперсию числа X белых шаров среди выбранных.

  9. Известно, что , . Используя неравенство Чебышева, оценить снизу вероятность того, что абсолютная величина отклонения не превосходит 2.

  10. Оценить снизу вероятность того, что величина не превосходит К среднеквадратичных отклонений. Найти числовое значение оценки при К = 3.

  11. Система подчинена закону

в

Найти: 1) ;

2) ;

3) .




  1. Закон распределения случайной величины Х определен таблицей



1

2

3




–1

2

3



1/2

1/4

1/4

Найти .

  1. В некотором вузе 75% юношей и 25% девушек. Среди юношей курящих 20%, а среди девушек – 10%. Наудачу выбранное лицо оказалось курящим. Какова вероятность, что это юноша?

  2. Вероятность обнаружения дефекта в дефектном изделии равна 0,8. вероятность принять стандартное изделие за дефектное равна 0,05. Найти условную вероятность того, что изделие удовлетворяет стандарту, если оно было признано дефектным.

  3. Долговременная практика рекламирования новых товаров показала, что после проведения рекламной компании 5% мужчин и 10% женщин желали бы приобрести новый вид зубной пасты, а остальные покупают прежние виды паст. Числа мужчин и женщин в городе Крепкие Зубы соотносятся как 4:6 и все они покупают зубную пасту.

Какова вероятность того, что случайно выбранный покупатель, приобретший новый вид пасты, будет женщиной?

  1. Стрелок попадает в цель при одном выстреле с вероятностью 3/4. Найти вероятности событий:

A = {число попаданий в цель при 1200 выстрелах лежит в пределах между 885 и 930}, В = {число попаданий в цель при 1200 выстрелах не меньше 870}.

  1. Куплено два изделия, изготовленные на разных заводах. На первом заводе брак среди поступивших в продажу изделий составляет 2%, а на втором – 5%. Найти вероятности событий: = {оба изделия бракованные}, = {хотя бы одно изделие стандартное}, = {ровно одно изделие бракованное}.

  2. Два стрелка делают по одному выстрелу, каждый по своей цели. Вероятность поражения цели 1-м стрелком равна 0,7,Ю а вторым – 0,9. Найти вероятности событий: А = {обе цели поражены}, В = {ни одна из целей не поражена}, С = {первая цель поражена, а вторая нет}.

  3. Электрическая цепь состоит из двух последовательно соединенных элементов. Вероятность отказа одного из элементов за год равна 0,2, а второго – 0,7. При отказе элемента в месте его включения разрывается. Найти вероятность того, что за год цепь не будет разорвана.

  4. Страховая компания заключила договор со спортсменом-теннисистом на 365 дней, предусматривающий выплату страхового возмещения клиенту в случае травмы специального вида. Из предыдущей практики известно, что вероятность получения такой травмы теннисистом в любой фиксированный день равна 0,00037. Вычислить вероятность того, что в течении срока действия договора

    1. Не произойдет ни одного страхового случая;

    2. Произойдет один страховой случай;

    3. Произойдет два страховых случая.

Вычислить указанные вероятности двумя разными способами, используя биноминальное распределение и распределение Пуассона.

  1. По выборке объема , извлеченной из нормальной генеральной совокупности, найдены выборочная средняя и «исправленное» среднее квадратическое отклонение . Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу : при конкурирующей гипотезе : .

  2. Среди участников студенческой весны первокурсников было 60%. Среди них 70% составляли девушки. У старшекурсников девушек было 50%. Порядок выступления участников определялся жребием. Найдите вероятность того, что первой выступила девушка

  3. В первой урне находятся один белый и пять чёрных шаров, во второй урне — четыре белых и один чёрный. Из первой урны удалили два шара, а все оставшиеся поместили во вторую урну. Найдите вероятность того, что шар, вынутый после этого из второй урны, окажется белым

Задача 3.

  1. Рыбак имеет три места для ловли рыбы, которые он посещает с равной вероятностью каждое. На 1-ом месте рыба клюет с вероятностью 0,4, на 2-ом месте – 0,35, на 3 –ем месте – 0,45. Известно, что рыбак поймал рыбу. Найти вероятность того, что рыбак рыбачил на 2-ом месте

  2. В каждом кармане имеется 3 монеты по 20 коп. и 4 монеты по 3 коп. Из правого кармана в левый наудачу перекладывают 5 монет. Найти вероятность того, что из левого кармана достанем монету в 20 коп. после перекладывания.

  3. В каждой урне по 3 черных и 5 белых шаров. Из 1- й урны переложен во 2 – ю шар, после чего из 2-й урны извлечен шар. переложен во 2 – ю шар, после чего из 2-й урны извлечен шар. Найти вероятность того, что он белый.

  4. В коллекции нумизмата имеются 5 монет по 20 коп., 6 монет по 15 коп. и 7 монет по 5 коп. Наугад берутся три монеты. Какова вероятность того, что в сумме они составят не более 50 коп?

  5. Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равнв 0,99. Найти вероятность трех попаданий при 4-х выстрелах.

  6. К автобусной остановке через каждые 4 мин. Подходит автобус линии А и через каждые 6 мин. - - автобус линии В. Интервал времени между моментами прихода автобуса линии А и ближайшего следующего автобуса линии В равновозможен в пределах от нуля до 4 минут. Найти вероятность того ,что а) первый подошедший автобус окажется автобусом линии А. б) автобус какой-либо линии подойдет в течении 2 минут.

  7. В среднем 10% работоспособного населения некоторого региона – безработные. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что уровень безработицы среди обследованных 10000работоспособных жителей города будет в пределах от 9 до 11 % включительно.

  8. Вероятность сдачи в срок всех экзаменов студентом факультета равна 0,7.С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что доля сдавших в срок все экзамены из 20000 студентов заключена в границах от 0,66 до 0, 74.

  9. Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Их вес подчиняется нормальному закону распределения. Средняя масса равна 540 г. Известно, что 5 % имеет массу, меньшую 500 г. Каков % коробок, масса которых от 500 до 550 г.?

  10. Расход гравия на строительство за смену - нормально распределенная величина M(X) = 160 т., D(X) = 4 т. Сколько гравия надо завезти, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9823, его хватило на смену?

  11. Средняя масса изготовленного изделия – 4,06 кг. Найти стандартное отклонение , если 5% изделий имеют массу меньше 4 кг. Предполагается, что масса изделия распределена по нормальному закону.

  12. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,5. Составить закон распределения числа библиотек , которые посетит студент, если в городе 3 библиотеки, и найти функцию распределения случайной величины.

  13. Событие В появится в случае, если событие А появится не менее 4–х раз. Найти вероятность того, что наступит событие В , если будет произведено 5 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0, 5.

  14. Деталь проходит 3 этапа обработки. Вероятность того, что она окажется бракованной после 1-й операции, равна 0,002, после 2 – й - 0,003, 3-й - 0,02. Найти вероятность того, что деталь окажется не бракованной после 3-х операций, предположите, что появление брака на отдельных операциях – независимые события.

  15. Два стрелка поочередно стреляют по мишени до первого попадания. У них по 3 патрона. Вероятность попадания для 1-го стрелка равна 0,7, а для 2-го 0,6. найти вероятность того, что 1-й стрелок сделает больше выстрелов, чем 2-й.

  16. Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равна 0,2. Составить закон распределения кустов земляники, зараженных вирусом, из 4-х посаженных кустов. Построить полигон распределения. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение и моду данной случайной величины.

  17. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые студент посетит, если в городе 4 библиотеки и найти функцию распределения случайной величины. Найти М(Х), D(X).

  18. В ящике имеются 10 монет по 20 коп. , 5 монет по 15 коп., 2 монеты по 10 коп. Наугад берутся 6 монет. Какова вероятность, что в сумме они составят не более 1 рубля?

  19. К автобусной остановке через каждые 4 мин. Подходит автобус линии А и через каждые 6 мин. - - автобус линии В. Интервал времени между моментами прихода автобуса линии А и ближайшего следующего автобуса линии В равновозможен в пределах от нуля до 4 минут. Найти вероятность того ,что а) первый подошедший автобус окажется автобусом линии А. б) автобус какой-либо линии подойдет в течении 2 минут

  20. В ящике имеются 10 монет по 20 коп. , 5 монет по 15 коп., 2 монеты по 10 коп. Наугад берутся 6 монет. Какова вероятность, что в сумме они составят не более 1 рубля?

  21. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из 5 выданных. Построить полигон распределения. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение и моду данной случайной величины.

  22. Игральную кость подбрасывают 3 раза. Найти вероятность того, что дважды появится число очков, кратное трем

  23. . Из тонкого металлического листа вырезан правильный треугольник. Он вращается с периодом 1 мс вокруг оси, проходящей через одну из вершин перпендикулярно плоскости треугольника. Производится случайный выстрел в направлении, параллельном оси вращения (пуля пролетает от оси на расстоянии, меньшем высоты треугольника). Найдите вероятность того, что пуля заденет треугольник, если её длина равна 2 см, а скорость — 120 м/с (диаметром пули можно пренебречь).

Задача 4.
1 В букинистическом магазине продаются 6 экземпляров романа И. С. Тургенева «Рудин», 3 — «Дворянское гнездо» и 4 «Отцы и дети». Кроме того, есть ещё 5 томов, состоящих из романов «Рудин» и «Дворянское гнездо», и 7 томов, состоящих из романов «Дворянское гнездо» и «Отцы и дети». Сколькими способами можно сделать покупку, содержащую по одному экземпляру каждого из этих произведений?

2. Из колоды в 36 карт игрок вынимает три. Сколькими способами он может это сделать? А сколько возможно комбинаций, если эти три карты одной масти?

3. На четырёх карточках написаны цифры 1, 2, 3 и 4. Вынимают по порядку две из них (без возвращения). Запишите все возможные исходы испытания, если рассматриваемые события: а) являются упорядоченными парами чисел т и п; б) являются неупорядоченными парами чисел т и п; в) являются произведениями т и п (т и п числа на первой и второй карточках соответственно).

4. Есть 100 карточек с числами от 1 до 100. Событие А — извлечение карточки, число на которой кратно четырём, событие В — извлечение карточки, число на которой кратно пяти. На какие цифры могут оканчиваться числа на карточках, если произошли события: а) АВ; б) А+В; в)?

5. Являются ли равновозможными следующие события: а) Выпадение «орла»; «решки» при бросании монеты; б) попадание; промах при одном выстреле; в) появление трефовой; пиковой; червовой дамы при извлечении одной карты из колоды; г) правильное; неверное решение данной задачи.

6. В магазине есть 5 сортов конфет. Сколько различных покупок, содержащих не более трёх сортов конфет, можно сделать в этом магазине (покупки считаются одинаковыми, если они состоят из одинаковых сортов конфет)?

7. В двух группах по 30 студентов. В первой — 10 отличников, во второй — 8. Из каждой группы вызываются по два студента. Какова вероятность того, что среди вызванных студентов три отличника?

8. В цилиндрическом аквариуме с радиусом основания 30 см и высотой 40 см плавает маленькая рыбка. Считая, что эта рыбка одинаково часто бывает в любом месте аквариума, найдите вероятность того, что в данный момент она находится ко дну ближе, чем к боковой стенке.

9. Вероятность одного попадания в цель при залпе из двух орудий равна 0,38. Найдите вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если для второго орудия эта вероятность равна 0,8.

10. В одном ящике находятся 18 приборов, в другом — 20. В каждом ящике два прибора неисправны. Из второго ящика один прибор перекладывают в первый. На следующий день из первого ящика берут два прибора. Какова вероятность того, что они исправны?

11. Контрольная работа состоит из шести задач, причём для успешного выполнения её необходимо правильно решить любые четыре задачи. Если студент будет решать в течение отведённого времени лишь четыре задачи, то вероятность правильного решения любой из них равна 0,8. Если он попробует решить пять задач, то вероятность правильного решения любой из них равна 0,7. А если он возьмётся за решение всех шести задач, то эта вероятность снизится до 0,6. Какой тактики должен придерживаться студент, чтобы иметь наибольшие шансы успешно выполнить работу?

12. Если в среднем левши составляют 1% населения, то какова вероятность, что среди 200 случайных людей будет более двух левшей?

13. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0,7, вторым — 0,6. Каждый из них стреляет до первого попадания. Найдите вероятность того, что второй стрелок сделает больше выстрелов, чем первый.

14. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если цифры в числах не повторяются? А если могут повторяться?

15. Мама купила 2 яблока, З груши и 2 апельсина. Каждый день недели она выдает сыну по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

16 Партия из 200 деталей содержит 150 деталей первого сорта, 30 — второго, 16 — третьего и 4— четвёртого сорта. Какова вероятность того, что наугад взятая деталь окажется первого или второго сорта

17 Часы изготовляются на трех разных заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 40% продукции, второй – 54% и третий – 15%. В продукции первого завода спешат 80% часов, у второго – 70% и у третьего – 90%. Какова вероятность того, что купленные часы спешат

18. Во время спортивной игры по команде ведущего «Становись!» 10 студентов в случайном порядке образовали строй в одну шеренгу. Какова вероятность, что две подруги окажутся отделёнными друг от друга трёмя учащимися?

19. В правильном тетраэдре выбирается произвольная точка. Найдите вероятность того, что эта точка окажется вне вписанного в тетраэдр шара.

20 Какова вероятность того, что четырёхзначный номер автомобиля имеет три одинаковые цифры?

21 . Группа, состоящая из пяти юношей и семи девушек, распределяет по жребию 4 билета в театр. Какова вероятность того, что в числе получивших билеты окажется больше девушек, чем юношей?

22 . Паркет состоит из планок 4х20 см2. На него бросают монету диаметром З см. Найдите вероятность того, что монета не заденет границу ни одной планки.

23 В записной книжке у телефонного номера стёрлись две последние цифры. Какова вероятность того, что эти цифры одинаковые?

Задача 5.



  1. В ящике 3 красных и 5 синих шаров. Вынимают без возвращения пять шаров. Напишите полную группу событий, означающих число вынутых синих шаров.

  2. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 27 кубиков одинакового размера. Определите вероятность того, что извлечённый наудачу кубик будет иметь две окрашенные грани.

  3. Две команды по 10 человек производят жеребьёвку для присвоения номеров участникам соревнования. Два брата входят в состав различных команд. Найдите вероятность того, что братья будут участвовать в соревнованиях: а) с одним и тем же номером «5»; б) с одним и тем же номером.

  4. Внутри окружности наугад выбирается произвольная точка. Найдите вероятность того, что эта точка окажется внутри вписанного в эту окружность квадрата.

  5. Стрелок четыре раза стреляет по мишени. Определите вероятность того, что он трижды попадёт, если вероятность двух попаданий равна 0,2. (В среднем этот стрелок поражает цель более чем в половине случаев).

  6. У англичан принято давать детям несколько имён. Сколькими способами можно назвать ребенка, если общее число имён равно 300, а ребенку дают не более трёх разных имён

  7. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,1. Каковы вероятности того, что сообщение из 10 знаков: а) не будет искажено; б) содержит не более трёх искажений?

  8. Случайным образом записывают 450 двузначных чисел. Найдите вероятность того, что число 33 встретится менее трёх раз.

  9. . Два игрока условились, что выигрыш получит тот, кто выиграет 10 партий. Игра была прервана, когда первый игрок выиграл 8 партий, а второй 7. Как разделить ставку, если вероятности выигрыша партии каждым игроком равны?

  10. Сколькими способами можно раскрасить грани куба в два цвета так, чтобы граней каждого цвета было поровну?

  11. Пьяница стоит на расстоянии одного шага от лужи. Он шагает случайным образом либо к луже, либо от неё. На каждом шагу вероятность отойти от лужи равна , а шаг к ней имеет вероятность . Какова вероятность, что пьяница избежит попадания в лужу

  12. Сыгран футбольный матч. Какие из следующих событий несовместны: а) А — победила первая команда, В — матч закончился вничью; б) А — одна команда забила 6 голов, В — эта команда проиграла; в) А — в матче реализованы все назначенные пенальти, В — хотя бы один игрок пробил мимо ворот при исполнении пенальти?

  13. В ящике 5 красных и 5 белых шаров. Вынимают два из них (без возвращения). Покажите, что события А — «первый шар красный», В — «второй шар красный» являются зависимыми.

  14. Событие А — выигрыш в этом году сборной России первенства мира по футболу, В — выигрыш сборной России чемпионата по хоккею. Что означает событие А+В? Как записать событие, заключающееся в том, что проиграли обе сборные?

  15. На четырёх карточках написаны числа 1, 2, 3 и 4. Какова вероятность того, что сумма чисел на трёх произвольно выбранных карточках делится на 3?

  16. В мастерскую для ремонта поступило 13 телевизоров. Известно, что шесть штук из них нуждаются в общей регулировке. Мастер берёт первые попавшиеся пять телевизоров. Какова вероятность того, что два из них нуждаются в общей регулировке?

  17. Вероятность появления события А в опыте равна 1/4. Опыт повторился 8 раз независимым образом. Найти вероятность того, что: а) Событие А при этом появится не более двух раз; б) Событие А при этом появится хотя бы два раза; в) Событие А появится хотя бы один раз, но не более трех раз; г) Событие А появится более четырех раз; д) чему равно наиболее вероятное число появлений события А.

  18. На отрезке длиной 5 см произвольно независимо друг от друга выбирают два интервала по 1 см. Определите вероятность того, что эти интервалы не пересекаются.

  19. Футбольная команда «Маяк» в кубке дважды встречается со своим противником. Вероятность её победы в каждой встрече равна 0,4, вероятность ничьей — 0,3. Для продолжения соревнования необходимо одержать две победы или победу и ничью. Найдите вероятность того, что команда «Маяк» выйдет в следующий раунд кубка.

  20. Есть пять урн. В первых трех находятся по два белых и три чёрных шара, в двух других — по три белых и два чёрных шара. Случайно выбирается урна и из неё вынимается шар. Найдите вероятность того, что он окажется белым.

  21. Два баскетболиста делают по три броска мячом в корзину. Вероятности попадания для каждого из них равны соответственно 0,6 и 0,7. Найдите вероятность того, что у обоих спортсменов будет равное число попаданий.

  22. Прибор состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа каждого элемента в течение определенного времени равна 0,002 и не зависит от состояния других элементов. Найдите вероятность отказа за данное время: а) двух элементов; б) не менее двух элементов.

  23. Из урны, содержащей два красных, три белых и пять чёрных шаров, два игрека поочерёдно извлекают по одному шару без возвращения. Выигрывает тот, кто первым вынет два белых шара. Если появляется красный шар, то объявляется ничья. Найдите вероятность того, что: а) победит первый игрок; б) будет ничья.

Задача 6.

  1. Сколькими способами 10 человек могут встать в очередь друг за другом?

2. В почтовом отделении продаются открытки десяти видов. Сколькими способами можно купить здесь набор из восьми открыток, если открыток каждого вида имеется не менее восьми штук?

3. Определите, составляют ли полную группу события: а) испытание: бросание двух монет; события: А выпадение «орла» хотя бы на одной монете; В — выпадение «решки» на обеих монетах; б) испытание: три выстрела по мишени; события: А — не менее одного попадания; В — ни одного попадания; в) испытание: проверка изготовленного прибора; события: А — прибор годен; В — прибор содержит дефекты; г) испытание: студенческая группа сдаёт экзамен по математике; события: А — по крайней мере, два студента не сдадут экзамен; В — один студент не сдаст экзамен.

4. Приведите примеры: а) трех событий равновозможных и несовместных, но не образующих полную группу; б) трех событий равновозможных и образующих полную группу, но совместных; в) трёх равновозможных и несовместных событий, образующих полную группу.

5. Из партии готовых приборов отобрано для проверки три. Событие А — не годен первый из проверяемых приборов, В — не годен второй и С — третий прибор. Запишите событие, означающее, что: а) годны все приборы; б) не годны не менее двух приборов.

6. Какова вероятность того, что число на вырванном наудачу листке календаря: а) кратно пяти; б) равно 29, если в году 365 дней?

7. На станцию связи в день поступило 20 телеграмм, адресованных в четыре разных пункта (по пять в каждый пункт). Из всех телеграмм выбирают наугад четыре. Найти вероятность событий: А — все телеграммы адресованы в разные пункты; В — все телеграммы адресованы в один и тот же пункт.

8. Найдите вероятность того, что пуля, выпущенная в круглую мишень, попадет ближе к центру, чем к краю мишени (попадания во все точки мишени равновозможны).

9. В команде теннисистов четверо участников. Двое первых побеждают своих противников с вероятностью 0,7, двое других — с вероятностью 0,4. Найдите вероятность победы этой команды, для чего должны выиграть не менее трёх теннисистов.

10. Среди участников студенческой весны первокурсников было 60%. Среди них 70% составляли девушки. У старшекурсников девушек было 50%. Порядок выступления участников определялся жребием. Найдите вероятность того, что первой выступила девушка.

11. Игральный кубик подбросили шесть раз. Найдите вероятность того, что шестёрка выпала не менее двух раз.

12. По каналу связи передают сообщение, содержащее 1000 знаков. Любой знак может быть искажён независимо от других с вероятностью 0,005. Найдите вероятность того, что будет искажено не более пяти знаков.

13. Двое друзей бросают по три игральные кости. Найдите вероятность того, что у одного из них сумма выпавших очков будет втрое больше, чем у другого.

14. Среди поступивших на контроль изделий 5% бракованных. Система контроля состоит из двух независимых проверок. Вероятность того, что бракованное изделие обнаружат при первом контроле, равна 0,9, при втором — 0,95. Найдите вероятность того, что поступившее на проверку изделие пройдёт контроль

15. В сельском классе восемь детей. Считая рождения мальчика и девочки равновозможными, найдите вероятность того, что девочек в классе больше.

16. Вероятность того, что какой-либо абонент позвонит на коммутатор в течение минуты, равна 0,002. АТС обслуживает 2000 абонентов. Найдите вероятность того, что в течение данной минуты позвонят не более четырёх человек.

17. Случайная величина имеет плотность вероятностей на отрезке и вне этого отрезка. Определить А, функцию распределения и .

18 На девяти карточках написаны цифры от 1 до 9. Одну за другой вынимают три карточки. Найдите вероятность того, что цифра на последней из них равна среднему арифметическому двух первых

19. В группе 30 студентов. Ежедневно для дежурства выделяют двоих. Можно ли составить расписание дежурств так, чтобы никакие два студента не дежурили вместе дважды в течение учебного года (в учебном году 245 дней)?

20. Сколько различных ожерелий можно составить из двух синих, трёх белых и четырёх красных бусин (в ожерелье входят все бусины)?

21. В течение 30 дней сентября было 12 дождливых дней, 8 ветреных, 4 холодных. Причём 5 дней были и дождливые, и ветреные, 3 — дождливые и холодные, 2 — ветреные и холодные, а один день был и дождливым, и ветреным, и холодным. В течение скольких дней в сентябре стояла хорошая погода?

22. Сколькими способами можно переставлять буквы слова логарифм так, чтобы второе, четвёртое и шестое места были заняты гласными буквами?

23. В группе 25 студентов. Из них 20 человек увлекаются спортом (событие А), 9 — музыкой (событие В), 6 — и спортом, и музыкой. Что означают события ? Сколько студентов соответствует данным событиям?

Задача 7.

1. . По одному и тому же маршруту в один и тот же день совершают полёт три самолёта. Каждый самолёт с вероятностью 0,7 может произвести посадку по расписанию. Для числа самолётов, отклонившихся от расписания, составьте закон распределения. Постройте полигон, найдите математическое ожидание и дисперсию.

2. Дискретная случайная величина Х принимает только два возможных значения. Причём вероятность того, что будет принято меньшее значение, равна 0,6. Математическое ожидание этой величины 1,4, дисперсия — 0,24. Найдите закон её распределения.

3. Независимые случайные величины X и Y имеют математические ожидания и а их дисперсии Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=2X+Y.

4. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найдите функцию плотности вероятностей. Определите математическое ожидание, дисперсию и медиану. Вычислите вероятность попадания величины Х в интервал (0; 3). Постройте графики функции распределения и плотности вероятностей.

5. Случайная величина Х — отклонение размера детали от стандартного — имеет нормальное распределение со средним квадратическим отклонением, равным 0,2. Систематическая ошибка отсутствует. Найдите вероятность изготовления детали, отвечающей требованиям стандарта, если задан допуск 0,5.

6. Максимальное значение плотности вероятностей случайной величины Х, подчинённой нормальному закону распределения, равно Найдите среднее квадратическое отклонение и дисперсию этой случайной величины.

7. В коробках находятся карточки с цифрами от 1 до 5. Необходимо набрать полный комплект из пяти карточек с разными цифрами. Если из коробки случайно вынимается только одна карточка, то сколько коробок в среднем надо открыть, чтобы получить полный комплект?

8. Монету подбрасывают пять раз. Составьте закон распределения числа выпавших «орлов». Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. Постройте полигон распределения.

9. Случайная величина Х принимает три возможных значения: -1; 0 и 1. Математическое ожидание этой величины равно 0,1, а дисперсия — 0,89. Найдите закон распределения величины Х.

10. Найдите математические ожидания величин Z и T, где Z=X+4Y; Т = 7Х-3Y, а математические ожидания величин Х и Y равны М(Х)=2 и М(Y)=5.

11. Случайная величина Х определена на интервале (0, 2). Её плотность распределения Определите коэффициент а. Найдите функцию распределения. Определите математическое ожидание, дисперсию и медиану. Найдите вероятность попадания величины Х в интервал (0; 0,5). Постройте графики функции распределения и плотности вероятностей.

12. Случайная величина Х имеет плотность вероятности Найдите вероятность того, что при двух независимых испытаниях случайная величина Х хотя бы один раз примет значение вне интервала (4; 6).

13. Значения случайной величины Х находятся в интервале Может ли функция распределения величины Х равняться на этом интервале

14. Сколько в среднем раз надо бросать игральный кубик до появления шестёрки?

15. Мальчик набрасывает кольца на колышек до первого попадания. Вероятность удачного броска равна 0,3. Всего у мальчика пять колец. Составьте закон распределения числа неиспользованных колец. Постройте многоугольник распределения. Найдите математическое ожидание, моду и дисперсию.

16. Функция распределения F(х) случайной величины Х имеет вид:



Определите коэффициенты А и В. Найдите функцию плотности вероятностей f(x). Определите математическое ожидание, дисперсию и медиану. Найдите вероятность попадания величины Х в интервал (0; 0,5а). Постройте графики и f(х).

17. Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0,05. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом оказавших элементов и средним числом (математическим ожиданием) отказов за время Т окажется: а) меньше двух; б) не меньше двух.

Рис. Задачи № 18

18 Длина лабораторной бюретки распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 25 см и дисперсией 0,25 см 2. Определите вероятность того, что эта длина окажется меньше 25,5 см.

19. Случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения. Используя график плотности вероятностей у = f(х), найдите математическое ожидание и ориентировочные значения среднего квадратического отклонения и дисперсии.

20. В лаборатории имеются несколько стеклянных палочек. Споткнувшийся лаборант роняет их на пол, в результате чего многие из них разбиваются на две части. Каково среднее отношение длины короткой части к длине длинной части? Считайте, что длины осколков имеют равномерное распределение.

21. Стрелок, имея четыре патрона, ведёт стрельбу до первого попадания. Вероятность поражения цели равна 0,2. Составьте закон распределения патронов, оставшихся неизрасходованными. Определите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Постройте полигон распределения.

22. Плотность распределения случайной величины Х задана выражением

Найдите функцию распределения. Определите математическое ожидание, дисперсию и медиану. Вычислите вероятность попадания величины Х в интервал (0; 1). Постройте графики функции распределения и плотности вероятностей.

23. Случайная величина распределена по нормальному закону. Её дисперсия равна 36. Найдите вероятность того, что отклонение данной случайной величины от её математического ожидания будет меньше 5.

Задача 7.



  1. Одним и тем же прибором со средним квадратическим отклонением случайных ошибок измерений м произведено пять равноточных измерений расстояния от орудия до цели. Найти доверительный интервал для оценки истинного расстояния до цели с надежностью , зная среднее арифметическое результатов измерений м.

Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

  1. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожидания нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если известны генеральное среднее квадратическое отклонение , выборочная средняя и объем выборки : а) ; б) .

  2. Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность горения лампы выборки оказалась равной 1000ч. Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для средней продолжительности горения лампы всей партии, если известно, что среднее квадратическое отклонения продолжительности горения лампы ч. Предполагается, что продолжительность горения ламп распределена нормально.

  3. Станок-автомат штампует валики. По выборке объема вычислена выборочная средняя диаметры изготовленных валиков. Найти с надежностью 0,95 точность , с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание диаметров изготовляемых валиков, зная, что их среднее квадратическое отклонение мм. Предполагается, что диаметры валиков распределены нормально.

  4. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,975 точность оценки математического ожидания генеральной совокупности по выборочной средней равна , если известно среднее квадратическое отклонение нормально распределенной генеральной совокупности.

  5. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,925 точность оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности по выборочной средне равна 0,2, если известно среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности .

  6. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема :

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.



  1. из генеральной совокупности извлечена выборка объема :

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание нормально распределенного признака генеральной совокупности с помощью доверительного интервала.



  1. По данным девяти независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений и «исправленное» среднее квадратическое отклонение . Оценить истинное значение измеряемой величины с помощью доверительного интервала с надежностью . Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

  2. По данным 16 независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений и «исправленное» среднее квадратическое отклонение . Определить истинное значение измеряемой величины с надежностью .

  3. По данным выборки объема из генеральной совокупности найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение нормально распределенного количественного признака. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,95.

  4. По данным выборки объема из генеральной совокупности нормально распределенного количественного признака найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение . Найти доверительный интервал покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,999, если: а) ; б) .

  5. Произведено 12 измерений одним прибором (без систематической ошибки) некоторой физической величины, причем «исправленное» среднее квадратическое отклонение случайных ошибок измерений оказались равным 0,6. Найти точность прибора с надежностью 0,99. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

  6. Произведено 10 измерений одним прибором (без систематической ошибки) некоторой физической величины, причем «исправленное» среднее квадратическое отклонение случайных ошибок измерений оказались равным 0,8. Найти точность прибора с надежностью 0,95. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

  7. Производятся независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности с надежностью 0,95, если из 60 испытаний событие А появилось 15 раз.

  8. В результате длительного хронометража время сборки узла различными сборщиками установлено, что дисперсия этого времени . Результаты 20 наблюдений за работой новичка таковы:

Можно ли при уровне значимости 0,05 считать, что волчок работает ритмично (в том смысле, что дисперсия затрачиваемого им времени существенно не отличается от дисперсии времени остальных сборщиков)?



  1. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти функцию распределения .



  1. Партия изделий принимается, если дисперсия контролируемого размера значимо не превышает 0,2. Исправленная выборочная дисперсия, найденная по выборке объема , оказалась равной . Можно ли принять партию при уровне значимости 0,01?

  2. В приборе стоят 6 одинаковых предохранителей. Для каждого из них вероятность перегореть после 1000 часов работы равна 0,4. Если перегорело не менее двух предохранителей, то прибор требует ремонта. Найти вероятность того, что прибор потребует ремонта после 1000 часов работы, если предохранители перегорают независимо друг от друга.

19 По двум независимым выборкам n=50 и m=50 извлеченных из нормальной совокупности, найдены =20,1 ; =19,8; Д(х)= 1,75 и Д(y)= 1,375. Требуется при уровне значимости =0,05 проверить H0: M(x) = M(y) при H1: M(x)M(y).

  1. Пустые горшки Вини-Пух ставит на полочку вместе с наполненными с медом для того, чтобы вид уменьшающегося числа горшков не слишком портил ему настроение. В настоящий момент в его буфете вперемежку стоят 5 горшков с медом и 6 абсолютно пустых. Какова вероятность того, что в двух взятых на ужин горшочках окажется мед?

  2. В коробках находятся карточки с цифрами от 1 до 5. Необходимо набрать полный комплект из пяти карточек с разными цифрами. Если из коробки случайно вынимается только одна карточка, то сколько коробок в среднем надо открыть, чтобы получить полный комплект?

  3. . Сколько в среднем раз надо бросать игральный кубик до появления шестёрки?

  4. Баночки маргарина и майонеза имеют одинаковый вес и внешний вид. Для приготовления некоторого блюда требуются 2 банки майонеза и 1 маргарина. Из ящика, в кот. 9 банок маргарина и 6 майонеза, наудачу извлекли 3 банки. Какова вероятность того, что из них можно приготовить данное блюдо?

.


База данных защищена авторским правом ©zubstom.ru 2015
обратиться к администрации

    Главная страница