Симметрия природы и природа симметрии философские и естественно-научные аспекты



страница1/15
Дата27.08.2015
Размер2,84 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15

«Общая теория систем» на Practical Science : http://www.sci.aha.ru

Урманцев Юнир Абдуллович


Симметрия природы и природа симметриИ

Философские и естественно-научные
аспекты





СОДЕРЖАНИЕ
ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ


СИММЕТРИЯ В НЕЖИВОЙ ПРИРОДЕ

ГЛАВА 1. IММЕТРIА

§ 1. Истоки понятия симметрии
§ 2. История и значение пифагорейского учения о золотом сечении

ГЛАВА 2. СИММЕТРИЯ КЛАССИЧЕСКАЯ

§ 1. Отрицание отрицания в истории познания кристаллографической симметрии.

Нуль- и трехмерные группы симметрии
§ 2. Симметрия одно- и двумерная
§ 3. Континуумы, семиконтинуумы, дисконтинуумы


ГЛАВА 3. ПОСТРОЕНИЕ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИСТЕМ. СИСТЕМА СИММЕТРИИ

И СИММЕТРИЯ СИСТЕМЫ

§ 1. Введение

§ 2. Построение абстрактной системы. Система симметрии
§ 3. Центральное предложение О’ГС. Закон полиморфизации. Обобщения
§ 4. Закон изомеризации. Эвристика
§ 5. Закон соответствия. Симметрия системы § 6. Система и хаос, полиморфизм и изоморфизм, симметрия и асимметрия

категории ОТС
§ 7. Что должно быть, что может быть, чего быть не может для систем
ГЛАВА 4. СИММЕТРИЯ ПРОТИВОПОЛОЖНОСТЕЙ АНТИСИММЕТРИЯ, ЦВЕТНАЯ СИММЕТРИЯ, КРИПТОСИММЕТРИЯ

§ 1. Тождество и различие противоположностей — основа антисимметрии
§ 2. Диалектика тождества и различия и новые симметрии
ГЛАВА 5. СИММЕТРИЯ НЕИЗОМЕТРИЧЕСКАЯ КРИВОЛИНЕЙНАЯ, ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ, ПОДОБИЯ

§ 1. Криволинейная и гомологическая симметрии. Симметрия подобия и ее

обобщения
§ 2. Проблема равенства

ГЛАВА б. ПРОТИВОПОЛОЖНОСТИ СИММЕТРИИ

§ 1. Кристаллография с точки зрения закона единства и борьбы

противоположностей
§ 2. Форма и строение D и L энантиоморфов. Основы теории диссфакторов
§ 3. Встречаемость D и L энантиоморфов. Критика виталистической концепции

Ф. Джеппа

§ 4. Свойства D и L энантиоморфов. Анализ фактов нарушения симметрии противоположностей в живой и неживой природе
§ 5. О действиях и взаимодействиях в природе

ГЛАВА 7. СИММЕТРИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ И ДИНАМИЧЕСКАЯ

§ 1. Эрлангенская программа
§ 2. Полиморфизм геометрических симметрий
§ 3. Взаимосвязь симметрия сохранение. Пространственно-временные и

динамические физические симметрии
§ 4. Природа симметрии. Основные особенности симметрии
§ 5. Определение симметрии
СИММЕТРИЯ В ЖИВОЙ ПРИРОДЕ

ГЛАВА 8. СИММЕТРИЯ БИОЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРНАЯ,

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ, ДИНАМИЧЕСКАЯ
§ 1. Биосимметрия структурная молекулярная

§ 2. Биосимметрия структурная морфологическая

§ 3. Биосимметрия структурная неклассическая

§ 4. Биосимметрия геометрическая и динамическая

Екатерине Заварзиной автор посвящает свой труд

ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ

Несмотря на большую литературу о симметрии и на огромные практические приложения, очень нелегко выяснить положение симметрии в системе наук. О ней говорят, как о чем-то общеизвестном, самопонятном и делают из нее выводы, которыми пользуются на каждом шагу. Но мы не найдем в этой литературе точного определенного указания на то, что же представляют собой явления симметрии в природных процессах. Отчасти это связано с тем, что натуралисты очень мало занимаются логикой и методологией своих наук, считая многое само собой понятным.

В. И. Вернадский

Осознанно или неосознанно каждый автор, начиная непосредственный разговор о теме, обычно стремится — и вполне резонно — определить предмет своего рассмотрения, убедить читателя в необходимости его исследования. Предмет исследования данной работы — симметрия природы и природа симметрии, место и значение симметрии в познании. О важности учения о симметрии можно судить по следующему.


В последние десятилетия стало очевидным, что учение о структурной, или кристаллографической (в широком смысле), симметрии представляет глубокие теории и эффективные методы изучения формы и строения любых пространственных и пространственно-представимых объектов. Выяснилось, что учение о геометрической симметрии позволяет получить в виде тех или иных симметрий множество самых различных геометрий — Евклида, Лобачевского, Римана, Клейна, Вейля, Картана, Скоутена, Бахмана и др. одновременно оно дает в руки геометров мощный метод изучения пространства, позволяет обнаружить единство, стандарт в самых различных геометриях. Тем самым это учение — среди многих конкурирующих — оказалось наиболее глубокой и развитой теорией о геометрии и пространстве вообще. Наконец обнаружилось, что учение о динамической симметрии, давая метод для изучения симметрии процессов и взаимодействий, в то же время является одной из наиболее глубоких концепций о сохранении и изменении в природе, в том числе о законах сохранения, частных и универсальных постоянных. С этой точки зрения даже общая проблема относительности в физике и математике была сведена к проблеме нахождения лишь особой симметрии — определенной группы автоморфизмов и ее инвариантов. В результате можно сказать, что одно из больших завоеваний науки — законы сохранения, «мировые» постоянные — также оказались охваченными общим симметрийным подходом.
Стало понятно, что изучение симметрии природы и природы с точки зрения симметрии приводит к достаточно широким выводам. Экспериментаторы и теоретики самых различных областей знания стали поэтому надеяться посредством симметрии построить наиболее общие теории пространства, времени, движения. Вот некоторые современные свидетельства исключительного внимания к симметрии — вышедшие только на русском языке наиболее замечательные книги советских и иностранных ученых.
В области физики: Е. Вигнер. Теория групп и ее применение к квантово-механической теории атомных спектров (1961); его же. Этюды о симметрии (1971); М. Хамермеш. Теория групп и ее применение к физическим проблемам (1966); М. И. Петрашень, Е. Д.Трифонов. Применение теории групп к квантовой механике (1967); Новые свойства симметрии элементарных частиц. Сб. (1957); Теория групп и элементарные частицы. Сб. (1967); Р. Нокс, А. Голд. Симметрия в твердом теле (1970); М. Гарднер. Этот правый, левый мир (1967).
В области кристаллографии: А. В. Шубников. Симметрия (1940); Симметрия и антисимметрия конечных фигур (1951); У истоков кристаллографии (1972); А. В. Шубников, В. А. Копцик. Симметрия (1972); В. И. Вернадский. Химическое строение биосферы Земли и ее окружения (1955); Н.. В. Белов. Структурная кристаллография (1951); его же. Структура ионных кристаллов и металлических фаз (1955);
В.А. Копцик. Шубниковские группы (1966); М. И. Шафрановский. Симметрия в природе (1968); его же. Лекции по кристалломорфологии (1968); Ч. Ванн. Кристаллы (1970); Идеи Е. С. Федорова в современной кристаллографии и минералогии. Сб. (1970); А. И. Китайгородский. Молекулярные кристаллы (1971).
В области химии: А. И. Китайгородский. Органическая кристаллохимия (1955); Е.И. Клабуновский. Асимметрический синтез (1960); его же. Стереоспецифический катализ (1968); Г. Джаффе, М. Орчин. Симметрия в химии (1967); Р. Хохштрассер. Молекулярные аспекты симметрии (1968); И. Г. Каплан. Симметрия многоэлектронных систем (1969); Дж. Моррисон, Г.Мошер. Асимметрические органические реакции (1973).
В области биологии: В. И. Вернадский. Биогеохимические очерки (1940); Г. Ф. Гаузе. Асимметрия протоплазмы (1940); В. Н.Беклемишев. Основы сравнительной анатомии беспозвоночных (1952);Б. К. Вайнштейн. Дифракция рентгеновых лучей на цепных молекулах (1963); Дж. Бернал. Возникновение жизни (1969); ю. г. Сулима. Биосимметрические и биоритмические явления и признаки у сельскохозяйственных :растений (1970).
В области математики и философии: Г. Вейль. Классические группы, их инварианты и представления (1947); Симметрия (1968); Л. С. Понтрягин. Непрерывные группы (1954); и. м. Яглом. Геометрические преобразования (1955—1956); г. с. м. Кокстер. Введение в геометрию (1966); Ф. Бахман. Построение геометрии на основе понятия симметрии (1969); Об основаниях геометрии. Сб. (1956); А. Г. Курош. Теория групп (1967); В. Г. Болтянский, Н. Я. Виленкин. Симметрия в алгебре (1967); Н. Ф. Ончинников. Принципы сохранения (1966); В. С. Готт и др. Симметрия, инвариантность, структура (1967); Н. П.Депенчук. Симметрия и асимметрия в живой природе (1963).
Особое место среди работ по симметрии занимает замечательный по содержанию сборник «Симметрия в природе» (1971), относящийся сразу к физике, кристаллографии, химии, геологии, географии, астрономии, биологии, математике, философии; оригинален также труд Р. П. Повилейко «Симметрия в технике» (1970).
Еще раз заметим, что здесь, разумеется, приведена не вся существующая на русском языке монографическая литература, а только та, которая почему-либо с точки зрения автора представляется наиболее значительной. Несколько условно и отнесение названных работ к тем или иным разделам науки. И все же, несмотря на это, нельзя не констатировать обилия литературы по симметрии.
Естественно, возросший интерес автоматически привел к более щедрому предложению. Число различных теорий резко увеличилось. К примеру, физики-теоретики предложили теории SU(2)-, SU(3)-, SU(6)-симметрий, а позднее — теорию симметрии с бесконечными мультиплетами. Посредством этих и других идей они пытаются дать естественную классификацию элементарных частиц, выявить исходные предпосылки наиболее общей физической теории.
Кристаллографы, ab incunabulis (с колыбели) стоящие во главе учения о симметрии в природе, революционизировали наши знания о естественной гармонии благодаря смелым теориям о 1, 2, ..., п, в пределе ∞-кратной антисимметрии, о цветной, цветной— простой и кратной — антисимметрии, криптосимметрии, криволинейной, подобия, гомологической.
В биологии сознательное внедрение в практику исследования идей и методов кристаллографии способствовало рождению новых наук молекулярной биологии и биосимметрики. Биологи-теоретики предложили теорию о статистической — средней, наиболее часто встречающейся, вероятностной — симметрии очень сложных систем, обобщенное учение о кристаллизации; развили теорию диссфакторов.
И в каждой из названных областей предложенные теории позволили сделать ряд важных открытий: омега-минус и омега-плюс гиперон частиц в физике, антисимметрических магнитных групп кристаллов в кристаллофизике; тонкого строения ряда важнейших биополимеров — ДНК, РНК, некоторых белков — в молекулярной биологии, биологической изомерии — в биосимметрике. По своему характеру эти открытия резко отличались друг от друга. Но во многом это отличие было кажущимся. Общей методологической их основой явились основа и методы симметрии.
Что такое симметрия? Каково ее место в природе, в науке и в познании? В чем причина такого ее значения? Таковы основные вопросы данной монографии. К сожалению, в большой литературе по симметрии, как отмечал В. И. Вернадский, мы не найдем удовлетворительных ответов на эти вопросы. Все имеющиеся о ней сводки неполны и относятся лишь к узким областям учения о симметрии природы. Вследствие этого характеристики природы симметрии либо чересчур ограниченны, плохо или совсем не раскрывают гносеологического значения симметрии, хотя и часто справедливы для данной области знания, либо чрезмерно широки, не отвечают специальным теориям и интуитивным представлениям о ней, мало удовлетворяют специалистов по симметрии, хотя и значительно лучше раскрывают ее гносеологические возможности. Таким образом, неудовлетворительны и те и другие определения симметрии.
Очевидно, ответы на поставленные вопросы не могут быть получены иначе как посредством рассмотрения форм существования и различных учений о симметрии в природе, чисто философского ее анализа с точки зрения понятий, категорий и законов диалектики, наконец, посредством теоретико-системного ее исследования. Значимость последнего подхода следует из того общеизвестного факта, что во всех теориях симметрии речь прямо идет о симметрии системы и системе симметрии. И это очень существенно.
Из сказанного следуют три основные задачи данной работы:
а) дать возможно полную картину и историю изучения проявлений симметрии в природе;
б) проанализировать симметрию с точки зрения прежде всего наиболее связанных с ней понятий, категорий, законов диалектики и, наоборот, рассмотреть по крайней мере некоторые из последних с точки зрения симметрии;
в) исследовать симметрию с позиций общей теории систем и, наоборот, системы с позиций теории симметрии.

Работа в указанных трех направлениях обусловила следующие черты данной монографии.


Первая черта состоит в том, что это исследование — ни естественнонаучное, ни философское, оно — то и другое. Это обусловлено как поставленными задачами, так и тем объективным обстоятельством, что на каком-то из этапов узкоспециальное, конкретное исследование необходимо выходит за свои рамки и становится философским; точно так же сугубо философское исследование на каком-то из этапов требует обращения к более частным вопросам. Обычно эти случаи философы и нефилософы воспринимают как гамлетовскую дилемму: «Быть или не быть?» Одни решают — «не быть», и возникшая дилемма воспринимается как сигнал к прекращению текущей работы. Другие с большим риском решают — «быть», и возникающая дилемма воспринимается как сигнал начала путешествия в terra incognita. Следование по этому пути и привело нас к естественнонаучным и философским разработкам. Однако первые позволили получить не только чисто симметрийные результаты, но и дали возможность значительно полнее оценить их с точки зрения философии, обнаружить некоторые новые для последней моменты; вторые разработки также позволили получить не только философские результаты, но и выявить ряд новых аспектов в самой теории симметрии. Напомним, кстати, что В. И. Ленин в известной статье «О значении воинствующего материализма», призывая философов к союзу с естествоиспытателями писал: «...следить за вопросами, которые выдвигает новейшая революция в области естествознания, и привлекать к этой работе в философском журнале естествоиспытателей — это задача, без решения которой воинствующий материализм не может быть ни в коем случае ни воинствующим, ни материализмом» 1.
Вторая черта данной работы в том, что здесь впервые с единой точки зрения на симметрию, сформулированной в книге, рассмотрены не одна, а все основные — кристаллографические, геометрические, динамические — симметрии. В уже опубликованных монографиях, как правило, не охватываются все разделы даже одного из трех отмеченных типов симметрии. В привычных для современных естествоиспытателей и философов терминах эту единую точку зрения можно сформулировать так: симметрия — это категория, обозначающая сохранение признаков «П» объектов относительно «О» изменений «И».
Третья черта работы в том, что мы назвали оборачиваемостью точек зрения. Благодаря этому диалектическому приему мы рассмотрели не только симметрию кристаллографических, геометрических, динамических систем, но и системы симметрии; не только симметрию пространства и времени — различных континуумов, семиконтинуумов, дисконтинуумов, но, если можно так выразиться, и пространство-время в симметрии—явления симметризации и диссимметризации; не только симметрию противоположностей — антисимметрию, принцип зарядовой сопряженности, зарядовую четность, но и противоположности симметрии; не только симметрию тождества и различия — простую и кратную цветную антисимметрию, криптосимметрию, криволинейную, подобия, гомологическую, различные геометрии, но и тождество и различие в симметрии; наконец, не только симметрию различных — изо-, гомо-, полиморфических — отображений, но и изо-, гомо-, полиморфизмы в явлениях симметрии.
В конечном счете такой подход позволил провести не только симметрийный анализ некоторых философских категорий и понятий, но и рассмотреть их проявления в самой симметрии — вплоть до самых последних ее «атомов» — далее неразделяемых четырех аксиом теории групп и основных элементов симметрии. Summa summarum: в итоге мы рассмотрели не только симметрию природы, но и природу симметрии, получив два существенно различных и дополняющих друг друга результата. Отсюда и название работы.
Четвертая черта работы связана с ее теоретико-системным анализом. Существующие в литературе варианты общей теории систем (ОТС), как известно, пока мало удовлетворяют философов и нефилософов. И так называемый системный анализ нередко ограничивается указанием на существование у объектов специфических элементов и целостных свойств. Это обстоятельство привело нас, с одной стороны, к предложению нового Варианта ОТС, с другой — к анализу теорий симметрии с его позиций. Можно указать в этой связи на впервые предсказываемые здесь несколько десятков новых симметрий и изомерий.
Последняяпятая — черта данной работы в том, что она написана на основании почти исключительно оригинальных работ. В результате хорошо ли, плохо ли, но удалось воспроизвести новую и новейшую историю исследований симметрии, особенно кристаллографической; выявить факты проявления и использования закона отрицания отрицания и принципа «раздвоения единого» в процессах познания кристаллографических симметрий; особенности восхождения от конкретного к абстрактному и от него к практике при изучении геометрических симметрий и т. д.
Теперь надо было бы убедить читателя в полезности и оригинальности проведенного исследования. И это было бы вполне естественно: на фоне даже приведенного внушительного списка книг по симметрии появление еще одной «Симметрии» настораживает. Невозможно развеять эту настороженность, не указав на главнейшие особенности, идеи и итоги данной работы. Первые охарактеризованы выше, идеи и итоги содержатся в работе. Таким образом, читателю самому предоставляется решить, насколько полезно и оригинально данное исследование.
В заключение автор сердечно благодарит члена- корреспондента АПН СССР, профессора, доктора биологических наук П. А. Генкеля за всестороннюю поддержку и ценные советы при проведении этого исследования; автор многим обязан и глубоко благодарен заведующему кафедрой кристаллографии Ленинградского горного института, профессору, доктору геолого-минералогических наук И. И. Шафрановскому за ряд весьма полезных уточнений и пожеланий;
Л. П. Прибытковой я искренне признателен за большую и непосредственную помощь на всех этапах проведения данной работы.


СИММЕТРИЯ


В НЕЖИВОЙ ПРИРОДЕ

Благоговейте, сударь! Здесь все полно тайн

и загадок, а вот эту улицу следовало бы

назвать проулком дьявола.
Э. Т. А. Гофман

Глава 1

∑IММЕТРIА


...представление о симметрии слагалось в течение десятков,

сотен, тысяч поколений. Правильность его проверена коллективным


реальным опытом и наблюдением, бытом человечества в

разнообразнейших природных земных условиях. Этот опыт многих

тысяч поколений ясно указывает на глубокую эмпирическую основу

этого понятия и ее существования в той материальной среде, в

которой жил человек, в биосфере.
В. И. Верна дский

§ 1. ИСТОКИ ПОНЯТИЯ СИММЕТРИИ

Симметрия — это такая особенность природы, про которую принято говорить, что она фундаментальна, охватывает все формы движения и организации материи. Так как истоки понятия симметрии восходят к древним, нам придется начать с этого далекого времени.


Более 30 лет назад крупнейший современный кристаллограф академик А. В. Шубников (1887—1970) в предисловии к своей книге «Симметрия» писал: «Изучение археологических памятников показывает, что человечество на заре своей культуры уже имело представление о симметрии и осуществляло ее в рисунке и в предметах быта. Надо полагать, что применение симметрии в первобытном производстве определялось не только эстетическими мотивами, но в известной мере и уверенностью человека в большей пригодности для практики правильных форм.
Уверенность эта продолжает существовать и до сих пор, находя себе отражение во многих областях человеческой деятельности: искусстве, науке, технике и т. д.» 2. Хотя нужно признать, что за последние 30 лет эта уверенность, особенно в архитектуре и искусстве, увлеченных асимметрическими формами, сильно поколеблена.
Позже (в 1940—1943 гг.) другой русский исследователь, ученый ломоносовского склада, энциклопедист, крупный организатор науки, последние 30 лет своей жизни отдавший изучению симметрии в природе, В. И. Вернадский (1863—1945), в своей рукописи «Химическое строение биосферы Земли и ее окружения», уточняя мысли А. В. Шубникова, писал: «…чувство симметрии и реальное стремление его выразить в быту и в жизни существовало в человечестве с палеолита или даже с эолита, т. е. с самых длительных периодов в доистории человечества (кончая шелейским и ашелейским периодом его истории 3), который длился для палеолита около полмиллиона лет— от 650000 до 150000 лет тому назад, а для эолита— миллионы лет. Это чувство и связанная с ним работа, еще резко и интенсивно меняясь, сказывались и в неолите 25 000 лет тому назад.
Это представление о симметрии слагалось в течение десятков, сотен, тысяч поколений. Правильность его проверена коллективным реальным опытом и наблюдением, бытом человечества в разнообразнейших природных земных условиях. Этот опыт многих тысяч поколений ясно указывает на глубокую эмпирическую основу этого понятия и ее существования в той материальной среде, в которой жил человек, в биосфере.

Нельзя забывать при этом, что симметрия ясно представляется в строении человеческого тела, в форме плоскостей симметрии и зеркальных плоскостей симметрии: в правых и левых кистях рук, в ступнях ног и т. д. Она же проявляется в гармонии человеческих движений, как танцах, так и в технической работе, где проявляется геометрическая закономерность.


Переходя к историческому времени, мы видим, что понятие «симметрия» выросло на изучении живых организмов и живого вещества, в первую очередь человека. Само понятие, связанное с понятием красоты или гармонии, было дано великими греческими ваятелями, и слово «симметрия», этому явлению отвечающее, приписывается скульптору Пифагору из Региума (Южная Италия, тогда Великая Греция), жившему в V в. до нашей эры» 4.
Вдумываясь в эти мысли В. И. Вернадского, нельзя не отметить материалистического объяснения им происхождения этого понятия и глубокого созвучия его идей следующим замечаниям В. И. Ленина:
«...практика человека, миллиарды раз повторяясь, закрепляется в сознании человека фигурами логики. Фигуры эти имеют прочность предрассудка, аксиоматический характер именно (и только) в силу этого миллиардного повторения» 5 . Отсюда мы вправе заключить, что не только формы силлогизма, но и любые по-настоящему серьезные, фундаментальные категории, понятия закреплялись в голове человека одинаковым образом — через многократные отражения соответствующих объектов и многократную проверку истинности субъективных образов «коллективным реальным опытом и наблюдением».
Из сказанного видно, что ко времени Пифагора и пифагорейцев понятие симметрии было оформлено достаточно четко. Не удивительно поэтому, что уже в то время они смогли подвергнуть его серьезному развернутому анализу и получить результаты непреходящего значения. Отметим некоторые из них.

Первое. Слово σιμμετρια выражало у них однородное, соразмерное, пропорциональное, гармоничное в объекте, понималось как «тот способ согласования многих частей, с помощью которого они объединяются в целое» 6. .
Второе. Пифагорейцы выделили 10 пар противоположностей, среди них правое (D) и левое (L).
Третье.
«Бог, — учили пифагорейцы, — положил числа в основу мирового порядка. Бог — это единство, а мир — множество и состоит из противоположностей. То, что приводит противоположности к единству и создает все в космосе, есть гармония. Гармония является божественной и заключается в числовых отношениях... Блаженство есть знание совершенства чисел души» 7.

Четвертое. Согласно Аристотелю, главное у пифагорейцев состоит в том, что число есть сущность всех вещей, и организация Вселенной в ее определениях представляет собой вообще гармоническую систему чисел и их отношений 8.
Нельзя не поразиться удивительной глубине и смелости этих утверждений.
Начнем с первого. О том, насколько верно пифагорейцы понимали симметрию, можно судить хотя бы по тому, что ими схвачены действительно важные стороны симметрии, и прежде всего равенство, однообразие и пропорциональность: однообразно (в смысле подчинения какой-либо математической закономерности) располагая равные части, например 4 равнобедренных треугольника, можно построить симметричную фигуру, скажем квадрат. Если же нарушить принятый закон однообразия в расположении равнобедренных треугольников, то мы получим уже менее симметричную, в пределе асимметричную фигуру. Именно исходя из понятий однообразие», «равенство», «часть», А. В. Шубников подводит читателя к первому пониманию симметрии, но пока не дает ее окончательного определения 9.
Важность второго положения двоякая. Во-первых, понятия правого и левого в теории симметрии имеют фундаментальное значение: а) пользуясь D и L асимметричными образцовыми фигурами, например запятыми, неправильными треугольниками, тетраэдрами, и «размножая» их соответствующими элементами симметрии, можно построить теорию симметрии любого измерения. Сама же теория симметрии с этой точки зрения предстает как учение о симметрии специфических противоположностей — D и L; б) изучение природы с точки зрения D и L в дальнейшем привело к одной из важнейших проблем естествознания к проблеме правизны и левизны (подробнее об этом см. в главе 6). Во-вторых, через него вошли значимые для философии противоположности правое и левое, характерные для всех пространственных, пространственно представимых объектов, поскольку они либо D, либо D, либо DL 10.
Теперь мы с целью концентрации внимания на положительных сторонах учения пнфагорейцев отбросим как неверное из их учения мистику, бога, тенденцию к отождествлению вещей с числом, так как известно, что вещам присуща не только количественная, но и качественная (не обязательно числовой природы) определенность; заменим в этом учении слово «гармония» словом «симметрия»11 и затем снова прочитаем приведенные выше предложения. Тогда нельзя будет не отметить их: Диалектичность и современность: «мир — множество и состоит из противоположностей»; «то, что приводит противоположности к единству и создает все в космосе», есть симметрия; симметрия «заключается в числовых (а мы сказали бы — в математических. — Ю. У.) отношениях». Сейчас создано несколько теорий симметрии противоположностей. Одна из них, Хееша—Шубникова, так и называется — «теория Глубину: «число есть сущность всех вещей, и организация Вселенной в ее определениях представляет собой вообще симметрическую систему чисел и их отношений». Этот вывод пифагорейцев, прокомментированный в свое время Аристотелем, следовал из установления ими того факта, что законы природы могут быть выражены числами. Сейчас, когда математику сознательно и не без трудностей внедряют — вследствие внутренней логики развития науки и общественной практики — в самые различные естественные и общественные дисциплины, говорить о колоссальной важности математики для познания материи не имеет смысла. Однако вот парадокс: то, что было две с половиной тысячи лет назад ясно уже пифагорейцам, совсем недавно отвергалось некоторыми специалистами по биологии! К сожалению, отдельные ученые не принимают это и по сей день.
Иногда подобный нигилизм проявляется более тонко. Отдельные специалисты — философы и нефилософы, справедливо отвергая отождествление вещей с числом, в то же время не дают положительного решения проблемы. Между тем числа выступают на самых «горячих» точках науки: то при изучении распределения планет в Солнечной системе, то при объяснении сущности кода наследственности, то при выводе фундаментальных инвариантов в теоретической физике, то при объяснении периодической природы музыкального ряда и ряда Менделеева 12. Бесконечно многообразный мир чисел выражает важные особенности бесконечно многообразного мира вещей и идей. Но какие именно? И почему очень часто числа сигнализируют о фундаментальных сторонах бытия? Безусловно, Пифагор был не прав, когда отождествлял мир вещей с миром чисел, однако он сумел нащупать в мире вещей мир чисел, т. е. нечто действительно фундаментальное и действительно до сих пор! — загадочное. В этой связи, естественно, становятся крайне желательными диалектико-материалистические исследования проблем, поставленных Пифагором, — природы чисел и вида, способов связей мира чисел с миром вещей.
Математический настрой пифагорейцев привел их к тщательным исследованиям числовых отношений. Это понятно. Однако порой эти исследования приводили их к мистике, «священным» числам и к чрезмерным преувеличениям вроде «все есть число» и т. п. Так, нечетные, начиная е тройки, и четные, начиная с двойки, числа они считали соответственно мужскими и женскими. Число 5, являющееся суммой первого женского (2) и первого мужского (3) чисел, считалось поэтому ими символом брака. Кроме того, оно воплощало в себе одновременно как асимметрическое (5=2+3), так и симметрическое начало, поскольку та же пятерка равна 2+ 1+2. Пятерка же лежала в основе пентаграммы — пятиконечной звезды, которая в свою очередь воплощала в себе деление отрезка в среднем и крайнем отношениях — золотую пропорцию (об этом речь будет ниже). Известно, что у пифагорейцев пятиконечная звезда считалась знаком принадлежности к пифагорейскому союзу. Она была символом «эвфории», или жизни и здоровья. Символами справедливости и равенства у пифагорейцев были «квадратные» числа: число, умноженное на равное себе.
Число 6 олицетворяло совершенство, ибо оно равно сумме всех его делителей: 6=1+2+3. Число 28 и некоторые другие также считались совершенными:
28=1+2+4+7+ 14. Пифагорейцы учили и о «дружественных» парах чисел типа 220 в 284: у таких чисел сумма делителей первого равна второму числу, а сумма делителей второго — первому. Действительно, делители 220 суть 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, а делители 284 суть 1, 2, 4, 71, 142; 220=1+2+4+71+142, 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110. Впоследствии арабский ученый Табит-ибн-Курра дал общие формулы для определения пар дружественных чисел.

Символом гармонии было число 10: являясь новой счетной единицей, десятка гармонически связывала последующие числа с предыдущими. Священными считались числа 4 и в особенности 36. Четверка «тайно» содержала в себе десятку, ибо будучи сложена с меньшими числами 1, 2, 3 давала 10. Число 36 равно сумме первых четырех четных и первых четырех нечетных: 36=2+4+6+8+1+3+5+7. Клятва этим числом у пифагорейцев считалась самой страшной.

Несмотря на все преувеличения, мистицизм, идеи пифагорейцев о важности природы чисел самих по себе, об их значении для понимания природы вещей и законов, ими управляющих, позволили им получить и ряд результатов непреходящего значения. Помимо начал теории чисел достаточно в этой связи назвать знаменитую теорему Пифагора этот древний эквивалент современного четырехмерного интервала Минковского — инварианта лоренцевых преобразований; учение о музыкальной гармонии и, наконец, учение о золотом сечении.


§ 2. ИСТОРИЯ И ЗНАЧЕНИЕ ПИФАГОРЕЙСКОГО УЧЕНИЯ


О ЗОЛОТОМ СЕЧЕНИИ

Пифагор показал, что отрезок единичной длины АВ можно разделить на две части так, что отношение большей части (АС =х) к меньшей (СВ = 1— х) будет равняться отношению всего отрезка (АВ = 1) к большей части (АС):  , т. е.



. Отсюда х2= 1— х. Положительным корнем этого уравнения является  , так что отношения в приведенной пропорции равны:   = Ф = 1,618033989... каждое. Такое деление (точкой С) Пифагор называл золотым делением, или золотой пропорцией, а Леонардо да Винчи — общепринятым сейчас термином золотое сечение. Впоследствии учение о золотом сечении получило широкое применение в математике, эстетике, ботанике, технике 13. Здесь мы остановимся на связи золотого сечения лишь с симметрией.
Еще Пифагор и пифагорейцы использовали золотое сечение для построения по крайней мере некоторых из пяти правильных многогранников — тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра, икосаэдра, обладающих совершенной симметрией и получивших впоследствии название платоновых тел. По имени же Платона они были названы потому, что В своем «Тимее» Платон стихии земли, огня, воздуха, воды, Вселенной совершенно произвольно отождествил соответственно с кубом, тетраэдром, октаэдром, икосаэдром, додекаэдром 14.
Евклид в III в. до н. э. использует вслед за пифагорейцами золотую пропорцию в своих «Началах» 15 для построения правильных (золотых) пятиугольников, диагонали которых образуют пентаграмму.
В 1202 г. вышло в свет сочинение «Liber abacci» («Книга об абаке») 16 знаменитого итальянского математика Леонардо из Пизы, известного больше как Фибоначчи (Fibonacci — сокращенное от filius Bonaccii — сын добродушного). В нем решая задачу о кроликах, получает следующую замечательную последовательность чисел: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377... Фибоначчи отметил, что открытая им последовательность чисел при j>2 задается формулой fj = fj—1 + fj—2, где fj — j-й член ряда.
И. Кеплер (1571—1630) заметил, что fj /fj+1 → 1/Ф при возрастании j. Через 100 лет Р. Симпсон (1687—1768) строго доказал, что limfj+1/ fj = Ф. Лишь в 1843 г., т. е. через 641 год после открытия указанной последовательности чисел, Ж. Бине нашел формулу для j-го ее члена: fj 
Далее было обнаружено, что применяемая в ботанике для описания видов винтового расположения листьев на побеге последовательность дробей , , , , , , , , , ..., во-первых, составлена из чисел ряда Фибоначчи; во-вторых, построена так, что числитель и знаменатель любой дроби ряда, начиная с третьей, равны сумме числителей и знаменателей двух предыдущих дробей; в-третьих, стремится к пределу 0,38197… =  в-четвертых, фактически обозначает последовательность видов винтовых осей симметрии, применяемых в теории структурной симметрии для описания симметрии, бесконечных фигур. Кроме того, выявилось, что применяемая в ботанике же для описания уже спирального расположения семянок в головках подсолнечника или чешуй в шишках сосновых последовательность дробей
, , , , , , , , , , ,..., во-первых, также составлена из чисел ряда Фибоначчи; во-вторых, построена так же, как и предыдущий ряд,
только здесь знаменатель одной дроби равен числителю другой дроби, следующей за нею непосредственно, в-третьих, стремится к пределу 0,61803 ... = fj /fj+1 = 1/Ф= Ф-1, причем 0,61803= 1— 0,38197 и , т. е. золотому сечению единичного отрезка; в-четвертых, фактически обозначает также последовательность видов винтовых осей симметрии. Итак, мы снова пришли к симметрии. Однако к ней можно прийти, используя золотое сечение, и иначе. Поскольку это важно, укажем еще на два особенно впечатляющих подхода.
Выявилось, что в геометрической ;прогрессии вида 1, Ф, Ф2, Ф3, …, Фn любой член ряда, начиная с третьего, равен сумме двух предшествующих членов. Другими словами, она оказывается одновременно мультипликативной и аддитивной, поскольку эта прогрессия одновременно геометрическая и арифметическая. Число Ф здесь, таким образом,—.естественная инварианта преобразований симметрии, реализованной на данной прогрессии. «Пеано, Рассел и Кутюра показали, что исходя из принципа тождественности можно вывести из этих отношений и групп принципы чистой математики» 17. Наконец, в самое последнее время московский композитор и исследователь гармонии М. А. Марутаев открыл еще одну связь числа Ф= 1,618 ... с симметрией. Последнее ему удалось сделать благодаря впервые развитой им оригинальной теории качественной симметрии чисел 18. М. А. Марутаев, в частности, доказал следующее.
1. Связь Ф с числами, приведенными ниже и связанными с Ф преобразованиями качественной симметрии:
+7 +6 +5 +4 +3 +2 +1
9,888_|_6,472_|_4,944_|_3,236_|_2,472_|_1,618_|_1,236 →

—1 —2 —3 —4 —5 —6 —7


→_|_ 0,809_|_0,618_|_0,405_|_0,309_|_0,202_|_0,154_|_0,101

Это означает, что золотое сечение может выражаться не только числами 0,618, 0,382 и 1,618 (как принято), но и всеми остальными здесь приведенными. Причем все 14 ai-х чисел могут быть получены посредством формулы ai = aki ani, где a =1,236, 1= +1, +2,...,+7,


—1, —2, ..., —7; I = + 1 или —1, чередуясь в каждом последующем диапазоне, так что для диапазона +1 k = +1, а для диапазона + 2 k = —1, —2 k = +1
и т. д.; n — целое, меняющееся через диапазон на единицу, причем для положительных диапазонов п=0,1, 2, 3, а для отрицательных — п = 0, —1, —2, —3, и п=0 для диапазонов +1, —1. Наконец, ограничение качественной симметрии 7 положительными и 7 отрицательными диапазонами вызвано принятыми в теории качественной симметрии предпосылками.
2. Связь Ф с числом 137, доказываемая посредством следующих преобразований:

-2 +2

0,618_|_1,618; 0,382_|_1,309. Среднее геометрическое xr =  = 1,46 и

-2 +2

1,461_|_1,37. Напомним, что число 137= 1,37∙102 вsводится из фундаментальных констант природы — заряда электрона (е). постоянной Планка (h), скорости света (с): 1,37∙102 = =ħс/е2, ħ = h/2π. При этом знаменательно, что число 137 играет фундаментальную роль не только в физике (что общеизвестно), но и в музыке (что не было известно), где оно является основным числом темперированного строя и проявляется в структуре ряда музыкальных форм. И это, конечно, не случайно, учитывая связь числа 137 с золотым сечением, а тем самым и с весьма широким кругом явлений.


3. Связь Ф с числом 0,417, доказываемая тем, что Ф==10∙(0,417∙2)10 . При этом замечательно, что отношение силы электрического отталкивания к силе гравитационного притяжения двух электронов равно 0,417∙1043, а значение минорной терции 5/6 = 0,833 = =0,417∙2. Из всего сказанного для нас важно то, что золотая пропорция Пифагора оказалась связанной с действительно фундаментальными проблемами науки. Сквозь годы и века она привела не только к структурной, но и к геометрической и динамической симметриям, которым и посвящены остальные разделы этой книги.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15


База данных защищена авторским правом ©zubstom.ru 2015
обратиться к администрации

    Главная страница