Н. В. Перцев планирование и математическая обработка результатов химического эксперимента учебное пособие



страница5/46
Дата26.06.2015
Размер4.46 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   46

1.4. Объект исследования как «черный ящик». Факторы и параметры


Для изучения и статистического моделирования любого объекта удобно воспользоваться кибернетическим представлением его как «черного ящика». При этом сознательно не рассматривают процессы, протекающих внутри объекта; отмечают лишь исходные условия и результаты опытов. Этот подход и соответствующие ему способы планирования активного эксперимента особенно важны при недостаточно изученном механизме процессов, связанных с данным объектом. Образно говоря, при неизвестном содержании «черного ящика».


Рис. 1. Объект исследования как «черный ящик»

Буквами Х1, Х2, …. Хk на рис. 1 обозначены те величины, которые мы в ходе эксперимента задаем и контролируем. Независимые величины, влияющие на поведение исследуемого объекта, называются факторами. Примерами факторов являются начальные концентрации реагентов и температура реакционной смеси. В каждом исследовании число таких факторов ограничено, мы обозначим это число через k.



Зависимые от факторов свойства объекта, которые мы измеряем и/или оптимизируем в ходе эксперимента называются параметрами (или, точнее, параметрами оптимизации). На рис. 1. и далее параметры обозначаются как Y1 , Y2.....,Yq. Параметры характеризуют результат эксперимента и непосредственно связаны с целью исследования (глава 2). В каждом исследовании число параметров ограничено, обозначим его через q.

Термин «параметр» в науке используется очень широко, он имеет много разных смысловых значений. Так, математики говорят о выборочных параметрах или о параметрах распределения и т. п., вовсе не имея в виду непосредственно измеряемые в ходе эксперимента физические величины. С другой стороны, технологи-практики иногда называют параметрами любые количественные характеристики изучаемого процесса, результаты любых измерений, то есть и «иксы», и «игреки». Однако в теории планирования эксперимента разделение измеряемых характеристик на факторы и собственно параметры проводится весьма четко, терминологическая путаница здесь недопустима.

Резюмируем: объектом исследования мы называем систему, поведение которой определяется неизвестными нам заранее, но вполне определенными внутренними закономерностями. Выявить их, изучить «содержимое ящика», можно в активном эксперименте, воздействуя на объект исследования разными способами (факторами) и наблюдая, как меняются при этом значения параметров. По полученным данным можно будет рассчитать статистическую модель.

Например, при исследовании коррозии стали в водных растворах серной кислоты мы можем менять от опыта к опыту температуру, концентрацию, скорость перемешивания раствора, природу и концентрацию дополнительно вводимого ингибитора, методику предварительной обработки поверхности стали и химический состав стали. Все это факторы. В каждом опыте мы будем измерять в качестве параметра скорость коррозии. Эта характеристика зависит от перечисленных факторов и непосредственно связана с целью эксперимента. Если цель – исследование механизма коррозии, то статистической моделью должна быть эмпирическая зависимость скорости коррозии от температуры и концентрации. Она укажет исследователю на лимитирующую стадию процесса. Если же наша цель – замедление или предотвращение коррозии, то та же статистическая модель позволит найти условия, при которых скорость коррозии будет равна нулю, или хотя бы достигнет некоторого минимального значения.

Будем считать математической моделью алгебраическое уравнение, связывающее параметр и факторы. В общем виде оно записывается: Y = f (Х1, ...., Хk). Числовые значения параметра Y далее выделены курсивом (Y), аналогичным образом выделены значения факторов.

Функцию Y = f (Х1, ...., Хk) называют функцией отклика. В случае многопараметрической задачи получают q таких уравнений, по одному на параметр.

Математическую модель можно выразить не только алгебраически, но и геометрически. Так, при изучении зависимости параметра Y от единственного фактора (k = 1) каждый опыт дает пару значений (Х, Y), т. е. точку на плоскости. Сама зависимость Y от X изображается на плоскости в виде прямой или кривой. Зависимость Y от двух факторов (k = 2) можно передать плоскостью или криволинейной поверхностью в обычном трехмерном пространстве. А для трех факторов наглядное изображение модели невозможно – пришлось бы изобразить некую поверхность в четырехмерном пространстве. Модель, учитывающая k факторов, описывается поверхностью в (k+1)-мерном пространстве. Математики без особого труда рассчитывают координаты точек, положение экстремумов и даже маршруты движения по такой поверхности отклика. Эти геометрические представления понадобятся нам, чтобы понять, как с помощью математической модели оптимизировать процесс.

Сложность любого исследования определяется количеством одновременно контролируемых факторов и параметров. Например, относительно простой считается работа, в которой изучается зависимость скорости коррозии от температуры раствора при прочих постоянных условиях, это однофакторный и однопараметрический эксперимент. Чаще приходится изучать влияние нескольких факторов, по очереди или одновременно, и при этом нас, как правило, интересует не единственный параметр, а сразу несколько. Например, меняют состав исходных реагентов и температуру синтеза, а интересует нас выход целевого продукта, его чистота, себестоимость получения, а также время, необходимое для завершения данной реакции. Соответствующий эксперимент будет весьма сложным – многофакторным и многопараметрическим.

Схема активного эксперимента предполагает следующие стадии:


  1. Формулировка цели исследования, выбор параметров и факторов.

  2. Уточнение (на основе априорной информации) областей допустимых значений факторов.

  3. Выбор средств эксперимента, в частности выбор непосредственных объектов исследования (веществ, материалов), подбор измерительной аппаратуры, оценка возможных погрешностей факторов и параметров.

  4. Выбор схемы эксперимента, числа независимых опытов и порядка их проведения.

  5. Непосредственное проведение опытов.

  6. Обработка результатов эксперимента.

  7. Интерпретация и объяснение результатов эксперимента, принятие решения о дальнейших действиях. Иногда приходится возвращаться к п.1, 2 или 3.

  8. Формулировка выводов и оформление результатов эксперимента.

Любой химический эксперимент можно представить как последовательность отдельных опытов. Словом «опыт» мы будем называть получение характеристик объекта (параметров оптимизации) в каких-то определенных условиях. Один опыт отличается от другого по набору условий, и в новом опыте хотя бы один фактор должен отличаться по своему значению от предыдущего опыта. Как говорят – должен быть взят на новом уровне. Например, измерение скорости коррозии в опыте № 1 проводят при 25 °С в 0,10 М растворе НСl и в присутствии бензтриазола, в опыте № 2 – в тех же условиях, но при 40 °С, а в опыте № 3 – при 25 °С в 0,10 М растворе НСl, но в отсутствие бензтриазола. Чем сложнее объект, чем большее число факторов влияет на параметры оптимизации, тем большим должно быть число независимых опытов.

Эксперимент ведут по предварительно разработанному плану, переходя от опыта к опыту в заранее определенном порядке. Каждый опыт обязательно повторяют, тщательно контролируя его условия. Если условия опытов по всем факторам остаются неизменными, то их называют повторными или дублирующими. Повторять опыты надо, даже если делать этого не хочется (долго, дорого, скучно и т. п.), но иначе выводы исследователя будут ненадежными! Как правило, экспериментатор повторяет каждый независимый опыт m раз, величину m называют кратностью или повторностью.

Любой фактор может принимать одно из своих возможных значений. Каждое из них называется уровнем. Число возможных уровней для большинства факторов теоретически бесконечно велико, на практике же оно ограничено: а) точностью измерений, б) техническими возможностями измерительной техники; в) естественными колебаниями измеряемой величины в ходе единичного опыта; г) областью допустимых значений этой величины. Предположим, что исследователь-химик работает с водными растворами при атмосферном давлении. Они могут иметь температуру от 0 до 100 градусов по Цельсию. Предположим далее, что температуру раствора измеряют с погрешностью в один градус (такова цена деления данного термометра по всей температурной шкале). Следовательно, при изучении влиянии температуры водного раствора на скорость коррозии возможны 100 разных уровней температуры. Но если температуру раствора собираются поддерживать с помощью термостата, который не может охлаждать раствор, тогда температуры ниже комнатной будут исключены, температурный интервал исследования (область допустимых значений фактора) станет уже – от 25 до 100 градусов, всего 76 уровней. Зачастую термостат поддерживает температуру менее точно, чем мы ее измеряем, скажем, колебания температуры в ходе каждого опыта достигают 3°. В таком случае число возможных уровней снизится до 26.

Для фактора «концентрация» число уровней также ограничено. Во-первых, мы создаем и измеряем ее с некоторой погрешностью С, а во-вторых, любое вещество имеет некоторую максимально возможную растворимость S, и мы можем менять концентрацию только в пределах от 0 до S. Тогда число возможных уровней (pmax) будет равно S/С. Чем точнее измерять значения фактора, тем больше его уровней можно использовать в ходе эксперимента, но число уровней в любом случае не может быть бесконечным.

Очевидно, что общий объем эксперимента (общее число опытов) определяется числом исследуемых факторов, числом уровней, отобранных для изучения влияния каждого фактора, и кратностью опытов [4]. Задав набор уровней по всем факторам, мы не только определяем условия данного опыта (независимо от числа его повторений), но и описываем одно из возможных состояний нашего «черного ящика» – исследуемого объекта. Если каждый фактор может быть задан на p уровнях, а всего исследуется k таких факторов, то число возможных независимых опытов равно pk. Так, трехфакторный эксперимент, в котором каждый фактор может иметь одно из четырех возможных значений, потребует 43 = 64 независимых опытов. С учетом необходимости повторных измерений число опытов будет значительно большим.

N = m pk . (1.1)

Формула (1.1) показывает, как подсчитать общее число опытов. С увеличением числа факторов и уровней по каждому фактору объем эксперимента быстро растет. Так, для 4 факторов на 10 уровнях возможно 104 = 10 000 сочетаний и, следовательно, 10 000 независимых опытов. А для 10 факторов на 4 уровнях число возможных опытов равно 410 = 1 048 576, то есть придется провести больше миллиона опытов, не считая повторных. Такой объем эксперимента просто нереален.



1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   46


База данных защищена авторским правом ©zubstom.ru 2015
обратиться к администрации

    Главная страница